Первая мировая война. Война в колониях

Одной из причин мировой войны являлась борьба за колонии. Большинство колоний империалистических государств, участников мировой войны, было сосредоточено в Океании, в Азии и в Африке, которые с первых дней войны явились отдаленными колониальными театрами военных действий, непосредственно не связанных с операциями на важнейших сухопутных театрах.

Действия в Океании

В Океании германцам принадлежали следующие колонии, приобревшие весьма важное военное и торговое значение после прорытия Панамского канала: части Новой Гвинеи - большой колонии, равной по своей площади 1/3 Германии, с важной гаванью Фридриха-Вильгельма, Каролинские и Марианские острова, расположенные к северу от Новой Гвинеи, Маршаловы острова, лежащие к востоку от Каролинских, и острова Самоа, расположенные к востоку от Австралии. Германская Новая Гвинея была занята англичанами в конце сентября 1914 г., Каролинские и Марианские острова заняли японцы в период с 10 по 15 октября 1914 г., Маршаловыми островами также овладели японцы, а Самоа без всякого сопротивления были заняты Новозеландской экспедицией 30 августа 1914 г.

Действия в Азии

Здесь Германия в 1898 г. захватила китайскую территорию Кяочао и превратила се в важнейший пункт экономической жизни Северного Китая. База германского флота на территории Кяочао - порт Циндао - обратилась в оживленную торговую гавань. Вполне понятно, что столкновение германских интересов с японскими на юге Тихого океана было еще более обострено в китайских водах, и поэтому вслед за объявлением войны Германии Япония 15 августа предъявила ей ультиматум с требованием очистить Кяочао. 22 августа ультиматум был отклонен. Тогда Япония приступила к операции против Циндао; одна японская эскадра, поддержанная английской, блокировала Циндао, а другая прикрывала перевозку войск. Первая высадка японцев произошла 2 сентября в Печилийском заливе; 22 сентября из соседней английской колонии Вейхавей прибыл вспомогательный английский отряд, и 27 сентября началось соединенное наступление англо-японцев на германские передовые позиции у Циндао. 17 октября был взят важный пункт - гора «Принц Генрих», на ней был установлен наблюдательный пост и из Японии были потребованы осадные орудия. К 31 октября все было готово к общей атаке и бомбардировке фортов. Бомбардировка началась 5 ноября, но первые 3 дня погода не позволяла флоту принять в ней участие. Германцы, предварительно потопив все корабли, сдали Циндао. Таким образом, через 3 месяца после объявления войны германские колонии на Дальнем Востоке перестали существовать. После овладения Кяочао Япония фактически прекратила свое участие в войне, если не считать посылку японских кораблей против германских крейсеров.

Действия в Африке

Борьба за африканские колонии началась осенью 1914 г. и в большинстве из них продолжалась несколько лет. Так как борьба в Африке не имела связи с операциями на остальных контингентах, то мы для цельности изложения рассмотрим борьбу в колониях отдельно от 1914 г. и до конца мировой войны.

Борьба в Того

Первой из африканских владений подверглась нападению англо-французов германская колония Того, расположенная на берегу Гвинейского залива между английской колонией Золотой берег и французской Дагомеей. В Того был ключ всей системы немецких телеграфных сношений в Атлантике; здесь в г. Камина находилась сверхмощная радиостанция, непосредственно сообщавшаяся с радиостанцией в Науене (близ Берлина), связывая таким образом Германию с ее западноафриканскими владениями, а отсюда и с Южной Африкой.

7 августа английский десант (4 роты и 3 орудия), прибывший с Золотого берега, высадился и без выстрела занял Ломе, главный город Тоголанда, после чего двинулся по железной дороге к Камине. В то же время французская колонна (2 роты и 1 горная батарея), выйдя из Дагомеи, завладела Мал. Попо и двинулась на север для соединения и совместного наступления с англичанами к Камине, опорному пункту обороны Тоголанда. После упорного боя 22 августа у Хра союзники подошли к Камине. Взорвав радиостанцию, германцы 26-го сдали англо-французам Камину, передав в их руки 200 пленных европейцев и значительную добычу.

Борьба в Юго-Западной Африке

После Тоголанда союзниками была завоевана германская Юго-Западная Африка. Юго-западные африканские владения Германии (835 000 кв. км с 250 000 местного населения и 14 000 европейцев) с радиостанцией в Виндхуке имели важное значение для англичан, так как соприкасались с их колониями Родезией и Бечуаналандом и с Южно-Африканским союзом.

В начале войны германцы овладели небольшой английской территорией Вальфиш-бей, а затем подняли восстание в бывших бурских территориях - Трансваале и Оранжевой реке, причем к восстанию примкнул и ген. Деветт, бывший герой бурской войны за независимость (1895 - 1901 гг.). Однако восставшие буры в конце октября были разбиты, и, когда 13 ноября бурский генерал Ботга, другой герой этой же войны, нанес повстанцам решительное поражение, англичане решили начать завоевание Юго-Западной Африки. В ноябре же англичане при содействии флота овладели Шваркопмюнде и Людериц-байем, начальными пунктами железнодорожных линий, после чего вдоль этих линий была направлена экспедиция под командой ген. Ботта, и к июлю 1915 г. эта германская колония была завоевана.

Борьба в Камеруне

Камерун (около 790 000 кв. км), самая старая германская колония в Африке, располагался между английской Нигерией и французской Экваториальной Африкой (Чад, Убанги-Шари, Среднее Конго, Габон); эта колония должна была, согласно пан-германскому плану, образовать вместе с германской Восточной Африкой одно общее германское средне-африканское владение. Расширившись после Агадирского инцидента 1911 г. за счет французской Экваториальной Африки, Камерун занимал по отношению к последней угрожающее положение. Этими условиями объясняются как то значение, которое Камерун имел в глазах французов, так и отличная организация германцами обороны Камеруна. Около 20 отдельных фортов и маленьких крепостей обеспечивали оборону колонии и служили опорой войскам, которые к началу войны насчитывали 170 европейцев и 2000 коренного населения, а к концу военных действий около 6000 войск.

План англо-французов, выработанный на союзном совещании 12 марта 1915 г., сводился к вторжению в Камерун со стороны моря и сухопутной границы, длиной свыше 4000 км, несколькими колоннами и к постепенному концентрическому продвижению этих колонн в глубь Камеруна. В действиях со стороны моря должны были принять участие английские войска из Сиерра-Леоне и французские - из Сенегала; с севера должны были наступать англичане из Нигерии и французы из Чада, имея ближайшей целью занять важный центр на севере колонии Гаруа; с востока две французские колонны и с юга также две французские колонны должны были наступать к центру германского владычества - колонии Яунде.

Англо-французская береговая колонна при содействии флота овладела 28 сентября важным портом Дуала, после чего колонна разделилась и англичане двинулись на север вдоль железнодорожной линии, а французы на восток, к Яунде. Однако наступление англичан вскоре было отбито, и они отступили к Дуале, возобновив наступление в ноябре и заняв 10 декабря конечный пункт железной дороги Баре. Северные колонны подошли к Гаруа 5 января 1915 г., но на штурм этого укрепленного пункта не отважились и обложили его.

Восточные колонны к концу года достигли линии Бертуа - Уэссо, а южные только проникли в пределы Камеруна, и таким образом к концу 1914 г. англо-французами был занят ряд пунктов на побережье и со стороны сухопутной границы.

В течение 1915 г. продолжалось концентрическое наступление англо-французов среди тропических лесов с весьма слабо развитой сетью грунтовых путей. Береговая французская колонна 30 сентября 1915 г. заняла Изека; обе северные колонны после четырехмесячной осады овладели 11 июня Гаруа, гарнизон которой сдался только исчерпав до конца все свои запасы, и двинулись к Яунде; восточные колонны летом достигли линии Думе - Ломе, а южнее - линии Битам - Акоафым. Таким образом, к осени 1915 г. все эти колонны окружили плато Яунде, которое и было взято в январе 1916 г., после чего Камерун пал.

Борьба в Восточной Африке

Восточноафриканские владения Германии, расположенные на берегу Индийского океана и окруженные английскими (Восточная Африка и Родезия), бельгийской (Конго) и португальской (Ньясса) колониями, имели для Германии значение не только в смысле величины территории (вдвое больше Франции), откуда она черпала сырье, но и в смысле империалистической пангерманской идеи образования путем соединения с Камеруном (через Конго) транзитного пути от Атлантического до Индийского океана. Ввиду этого в колонии спешно строились 2 железные дороги - одна на севере, в Узамбаре, вблизи английской границы, где были наиболее плотно поселены колонисты, и другая, центральная, от гавани Дар-эс-Салама до Кигомы на озере Танганайка, т. е. до бельгийского Конго; эти же железнодорожные линии должны были облегчить оборону колонии в случае войны. Однако мероприятия Германии в вопросе военной обороны этой колонии не были доведены до конца. Большинство солдат из местного населения было вооружено старыми ружьями обр. 1871 г. с дымным порохом, имелось очень мало пушек, один самолет, и все силы германцев, по их данным, не превышали 11 000 солдат, из них 3000 европейцев, а по французским источникам - до 40 000 бойцов с артиллерией всех калибров. У союзников же было около 8000 человек.

Военные действия начались 8 августа обстрелом Дар-эс-Салама 2 английскими крейсерами. Командующий германскими войсками полковник Леттов-Форбек, сознавая, что с имеющимися средствами при оборонительном способе действий нельзя обеспечить удержание колонии, обладавшей сухопутной и береговой границей почти такой же длины, как и у метрополии, решил, что наилучшим видом защиты будет угроза наиболее мощному противнику - англичанам, т. е. наступление в британскую Восточную Африку, так как всего в нескольких переходах от границы проходила жизненная артерия британских владений - Угандская железная дорога. Поэтому уже 15 августа германцы вторглись на английскую территорию и заняли Тавету, в районе горы Килиманджаро. В свою очередь англичане, пользуясь господством на море, стали блокировать берега германской колонии и спешно перевозить в Африку индийские войска, что отчасти отвечало намерениям германского командования отвлечь сколько-нибудь значительные части противника от вмешательства в войну на других театрах. Попытка англичан 3-5 ноября захватить Тангу, начальный пункт Северной железной дороги, окончилась неудачей, и англо-индийский десант, силой до 8000 человек, был разбит и вынужден уйти в море.

Весь 1915 г. прошел в многочисленных стычках к северу от германской границы и в обстреле побережья английскими кораблями. Одновременно происходили столкновения германцев с англичанами в районе озер Виктория и Ньясса и с бельгийцами в районе озер Киву и Танганайка.

К 1916 г. к англичанам в Восточную Африку прибыли большие подкрепления. После нескольких боев весной район Северной железной дороги был потерян германцами, и они отступили к Центральной железной дороге. В течение лета английские войска ген. Смутса заняли Центральную железную дорогу, и германцы отступили к р. Руфиджи, где и оставались в течение нескольких месяцев, активно обороняя до конца года область этой реки, несмотря на последовавшую высадку британских войск в юго-восточной части колонии и на вторжение через пограничную р. Ровуму португальцев, которые были отброшены. В западной части колонии германцы также успешно оборонялись против наступавших англичан и бельгийцев и только осенью отошли в район Махенге.

Так как к 1917 г. большая часть территории германской Восточной Африки была германцами уже потеряна, а о сдаче еще не было и мысли, Леттов-Форбек решил перенести борьбу в португальскую Африку, где он надеялся встретить слабое сопротивление и большие продовольственные запасы. Вся первая половина года прошла в партизанских действиях против англичан в районе Линди, Кильва, на побережье Индийского океана, после чего началось отступление войск, и германцы, в количестве всего 2000 солдат, 25 ноября переправились через р. Ровума и вступили на португальскую территорию. Таким образом, германская Восточная Африка в этот день была потеряна для Германии, и только небольшой отряд нежелавших сложить оружие решил продолжать борьбу, но уже на неприятельской территории.

В середине февраля 1918 г. германцы проникли до Нанунгу, почти в центре страны, и отсюда стали совершать набеги за продовольствием и боевыми припасами. Однако под давлением англичан со стороны озера Ньясса и от побережья со стороны Порт-Амелия германцы начали отходить, проникая все глубже на юг и отбрасывая португальские отряды. В начале июля германцы одержали победу над англо-португальцами у Намакурру (Кукузани), на крайнем юге колонии, недалеко от главного португальского порта Квелимане. Отсюда германцы, гонимые продовольственными затруднениями и стягивающимся противником, двинулись на северо-восток, по направлению к Мозамбику; затем, описав петлю, совершили в течение сентября тяжелый марш восточнее озера Ньясса и 28 сентября подошли опять к р. Ровуме, где вновь вступили на германскую землю, пройдя всю португальскую Африку с севера на юг и обратно с юга на север в течение 10 месяцев с постоянными боями. Обойдя озеро Ньясса с севера, Леттов-Форбек со своим отрядом, всего немного более 1000 человек, из которых белых оставалось менее 250, 31 октября вторгся в британскую Родезию и 9 ноября занял Казаму, после чего, получив сообщение о перемирии, заключенном в Европе, 14 ноября сдался с остатком своих войск.

Батюшка, в Вашем храме совершаются службы по монастырскому уставу. С другой стороны, у Вас уже достаточно сложившийся, большой приход, сложившаяся приходская жизнь со своими традициями. Поэтому обращаемся к Вам с просьбой разъяснить ряд вопросов. Каков, с Вашей точки зрения, должен быть приход и какова его жизнь?

Приход что-то должно объединять. Это должна быть общность людей, представляющая собой живой организм. Сейчас жизнь Церкви значительно изменилась именно в этом отношении.

Советская власть, зная силу общины, делала все, чтобы препятствовать созданию настоящих, подлинных общин. И если вокруг пастырей собирались духовные чада, то этих священников, как правило, высылали так далеко, что до них было трудно добраться. Правда, были некоторые исключения.

Например, в 70-е годы существовала община о. Димитрия Дудко. Я там бывал, и, кстати, отец Димитрий повлиял на мое мировоззрение, ведь я пришел туда в самом начале своего духовного пути, будучи еще семнадцатилетним юношей. То, что я там увидел, конечно, удивительно. Прежде всего, это была именно общность людей, они собрались вокруг своего пастыря, ими движет какая-то единая идея. Людям вообще свойственно жить в единстве, а то, что человек один, одинок - это следствие падения. Ведь в царствии небесном все будут вместе. И духовный человек, то есть желающий жить настоящей, подлинно духовной жизнью, как правило, ищет себе соработников, т. е. таких людей, вместе с которыми можно совершать спасение - вместе это гораздо легче и проще,- которые помогали бы ему спасаться и с чем-то обращались бы к нему.

Церковь - это община, а не просто отдельные люди. Это люди, собранные вокруг пастыря, которые идут к единой цели - небесному царствию.

- Отец Сергий, охарактеризуйте, пожалуйста, какова должна быть паства и каковы должны быть пастыри?

Паства прежде всего должна хотеть спасаться. С другой стороны, паства должна быть в состоянии принять учение пастыря.

Ведь каждый должен понять, что спасение заключается в изменении самого себя. То есть исходить нужно из того, что мы люди грешные и должны себя переменить, насадить в себе добродетели, воспитать добрые качества. Для этого сначала нужно увидеть в себе греховные качества и победить их и исправить. И для этого человек приходит в Церковь, ищет себе духовного отца, общается с другими православными людьми.

Если же человек ставит перед собой другую цель, если считает, что он нечто имеет, что он духовно богатый, а не духовно нищий, если он ищет общение для того, чтобы раскрыть свои мнимые богатства, то это прелесть. Кстати, таких людей довольно много. Особенно это относится к интеллигенции, которая приходит в Церковь. Такие люди считают себя образованными, знающими, многое понявшими и пережившими. И вот они приходят делиться своим духовным опытом, но на самом деле это опыт не духовный, а в лучшем случае душевный. Такому человеку очень сложно спасаться: сколько пройдет времени пока он поймет, что настрой его на самом деле неправилен, что в Церковь приходят не поучать, а, наоборот, получать. Пришедший в Церковь ищет духовного хлеба и алчет пития слова Божия. Когда же человек приходит поучать, то что хорошего может получиться?

Если говорить о пастыре, то опять-таки и он должен исходить из чувства своей греховности. Он хотя и учит - ибо это его обязанность,- но при этом тоже остается человеком, со своими немощами, недостатками, заблуждениями. Когда пастырь об этом помнит, то его учение будет растворено смирением, а это и есть самое главное. Ведь он и свою паству будет учить смирению. Не так важны какие-то богословские тонкости и богатство знаний, а важен облик самого пастыря, его добродетели и, прежде всего, конечно, смирение и любовь к ближним.

Одной из главных сторон нашей духовной жизни является богослужение. Как Вы считаете, каково должно быть богослужение на приходе, какую роль оно играет и каков должен быть его порядок? Как Вы относитесь к практике сокращения богослужения? Многие православные миряне, тяготеющие к серьезной духовной жизни, считают, что богослужение должно быть полноценным, что оно имеет особое значение для мирян, которые остальную часть дня проводят в суете.

Богослужение должно объединять людей. При этом в храм люди приходят прежде всего молиться. Уже во вторую очередь они приходят к пастырю и в третью очередь - общаться между собой. пусть не всегда это бывает так, многое, конечно, зависит от личности. Но, наверное, все со мной согласятся в том, что храм - это дом молитвы, и туда идут ради богослужения, ради того, чтобы обратиться к Богу с какими-то своими прошениями, нуждами, чтобы принести покаяние, принять Святые Тайны Христовы. Ибо храм - это еще и место совершения Святых Таинств, и в первую очередь главнейшего Таинства христианства - Таинства Евхаристии. Но, опять-таки, Таинства неотделимы от молитвы, от богослужения.

Истинный христианин любит молиться, стремится к молитве. Еще преподобный Иоанн Лествичник сказал, что любовь человека к Богу познается из того, что человек любит молиться, любит именно длительные молитвы. Когда человек тяготится молитвами, это, скорее всего, признак его пребывания в духовном младенчестве, в новоначалии, признак того, что он еще не открыл для себя богатства богообщения, не открыл радости обращения к Богу и не понял еще, что молитва - это всегда диалог, а не монолог человека. Диалог потому, что Господь отвечает. Когда человек это поймет, то всей душой, всем сердцем устремится в храм.

Многие люди отягощены обязанностями в миру, прежде всего семейными заботами, особенно когда в семье много детей. Это, конечно, достаточно значимо и важно. Но человек все-таки живет общением с Богом, живет молитвой, богослужением. Я монах, поэтому сразу скажу, что, конечно, не совсем понимаю семейную жизнь, она мне больше известна по исповеди людей. На исповедь, как вы понимаете, люди приходят рассказывать свои горести, свои беды, обиды, и поэтому я, может быть, воспринимаю семейную жизнь немного с другой стороны.

Есть, конечно, в семейной жизни и свои радости. Очень приятно и радостно видеть православную семью: супруг, супруга, детишки. Они все приходят на исповедь, причащаются, и где двое или трое собраны во имя Мое, там Я посреди их (Мф. 18, 20). То есть, если семья христианская, венчанная, если люди действительно имеют единую задачу - спасать свою душу, идти к Богу, то, конечно, там присутствует Христос, и такая семья заключает в себе свою радость и свою ценность. Но все-таки богослужение тоже должно занимать свое место в жизни человека. Семья и забота о ней не должны подменять службу Божию. Я думаю, что настоящий, подлинный христианин это понимает.

А относительно того, насколько богослужение должно быть полноценным, думаю, что если оно сокращено, в этом есть некоторая вина пастыря. Считается, что людям тяжело, некогда. Но насколько я могу судить по своему общению с людьми, то, во-первых, они стремятся ходить в храмы, где богослужение совершается неспешно и благоговейно. А что касается продолжительности богослужения, то мне кажется, люди, которые куда-то спешат, на работу или домой, могут просто уйти. Например, есть такая практика - уходить после полиелея и помазания. Я вполне могу это понять, потому что людей ждут дети, ждут дела. Но ведь не всех. У некоторых, наоборот, есть потребность помолиться, излить свою душу Богу.

Порой может возникнуть такое чувство - чувство неудовлетворенности богослужением, особенно когда служба коротенькая. Мне это знакомо. Приходишь на службу, только-только душа разогрелась в молитве к Богу - и служба кончается. Как бы подразумевается, что человек, начав молиться в храме, потом сможет продолжить свою молитву самостоятельно. Но это не совсем так: человек выходит из храма, погружается в суету большого города, едет на транспорте, и, конечно, молитва прекращается.

Надо заметить, что святитель Игнатий (Брянчанинов) в предисловии к первому тому своих "Аскетических опытов" - а на мой взгляд, это предисловие ко всем его творениям - пишет, что эту книгу он адресует отнюдь не монашествующим, он адресует ее мирянам, людям, которые, живя в миру, хотят проводить глубокую, серьезную духовную жизнь. А кроме того, тем, которые хотели бы поступить в монастырь, и, может быть, даже поступили, но еще не дали монашеских обетов и пребывают еще послушниками. Ведь послушник - это, собственно говоря, еще мирянин, он может и выйти из монастыря.

В "Аскетических опытах", и в первом, и во втором томе, святитель Игнатий излагает такие духовные закономерности, которые в общем-то одинаково важны и для монашествующих, и для мирян. Законы духовной жизни одни и те же. "Лествица", написанная прп. Иоанном Лествичником, одна - и для мирянина, и для монаха. Конечно, монах, может быть, взойдет по этой лествице немножечко повыше.

Прежде чем взойти на последующую ступеньку, нужно встать на предыдущую. Эта лествица духовной жизни подобна пирамиде. Человек поднимается выше и выше, но он не просто прошел одну ступеньку и идет дальше: по мере его восхождения, основание пирамиды расширяется, человек умножает предшествовавшие добродетели. Другими словами, он все равно продолжает трудиться и в этой добродетели. Если в человеке есть добродетель, она не может стоять на месте. По этому принципу построена вся духовная литература, такова вся духовная жизнь.

Я считаю, что с творениями святителя Игнатия можно и нужно ознакомиться вообще всем православным христианам. Мирянам я бы советовал прежде всего читать первый и четвертый - аскетические проповеди, которые он произносил, будучи на епископской кафедре, а также и третий том. Все, что там написано,- не какие-то отвлеченные знания, но то, что знать необходимо. Второй том посвящен в основном молитве. Если человек действительно серьезно хочет научиться молитве, и в миру, и в монастыре, то он должен, как говорил игумен Никон (Воробьев), изучать делание молитвы, да и вообще современное христианство, по творениям святителя Игнатия (Брянчанинова).

И даже пятый том, хотя он и называется "Приношение современному монашеству", я тоже очень бы рекомендовал прочитать любому православному мирянину. Ведь то, что там написано о духовной жизни, о молитве, о послушании, о поиске воли Божией,- очень актуально для любого православного человека.

Хочу заметить: того, что пишет епископ Игнатий, в общем-то не пишет никто. Причина - в том, что вопросы, которые он поднимает, раньше просто не возникали. В мире не было таких проблем. Каждое время порождает свои духовные проблемы. Но эти проблемы умножаются, и времена последующие как бы впитывают в себя проблемы времен предыдущих и еще порождают свои. Поэтому я неоднократно повторяю слова преподобного Варсонофия Оптинского: "Кто в наши дни не читает епископа Игнатия, тот не может понять современное монашество, его дух и направление".

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Итак, теория.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:

Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .

Подборку задач на отработку темы смотрите .

«Военная мысль» №2. 2006 г. (стр . 2-8).

ВОЕННОЕ ИСКУССТВО

Организация борьбы с диверсионно-террористическими формированиями противника в операции

Генерал-майор И.Н. ВОРОБЬЕВ, доктор военных наук, профессор

Полковник В.А. КИСЕЛЕВ, доктор военных наук, профессор

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ угроза совершения противником диверсионно-террористических действий на всех этапах операции (боя) обязывает командующего (командира) и штаб принимать соответствующие контрмеры по их предотвращению. Необходимые исходные данные для принятия решения и планирования борьбы с диверсионно-террористическими формированиями (ДТФ) противника командующий (командир) обычно получает из оперативной директивы. При этом он уясняет: какая складывается общая оперативно-тактическая обстановка в полосе обороны (наступления); каков замысел старшего начальника по пресечению деятельности ДТФ; какую роль играет объединение (соединение) в общей системе борьбы с ДТФ противника в операции; какие меры предпринимаются старшим начальником по предотвращению диверсий и терроризма; где, на каком направлении (районе) сосредоточиваются основные усилия; какие способы борьбы применяются; какие задачи возлагаются на авиацию, ракетные войска и артиллерию, первый, второй эшелоны и резервы по выявлению и уничтожению ДТФ; как осуществляется воздушная, войсковая, радиотехническая, артиллерийская и инженерная разведка; с какой задачей и в каком составе привлекаются для борьбы с ДТФ другие силовые структуры - части внутренних войск МВД, Пограничной службы ФСБ, территориальной обороны, МЧС; как организуется взаимодействие с ними; как осуществляются управление и обеспечение.

Наибольшую сложность при принятии решения представляет оценка возможностей противника по применению ДТФ. Важно определить, на каком этапе операции в каком количестве и с какой задачей могут быть высажены ДТФ противника при подготовке наступления (обороны), какие объекты могут подвергнуться первоочередному нападению, и исходя из этого выработать необходимые способы противодействия диверсиям. Ориентировочно за время проведения армейской оборонительной операции в полосе обороны объединения могут действовать до 100 аэромобильных, воздушных десантов, до 200 диверсионно-террористических групп (ДТГ) по 12-14 человек каждая и 10-15 иррегулярных (бандитских) формирований силой до роты (батальона). Они способны вывести из строя не менее 25 важных объектов (пункт управления части, узел связи, РЛС и др.), нарушить систему управления войсками, дезорганизовать работу тыла, что значительно снизит боевые возможности объединения. По опыту оперативно-тактических учений НАТО заброска ДТФ по решению командующего группой армий осуществляется за 30-45 суток до начала боевых действий, по решению командиров корпусов - за 10-12, командиров дивизий - за 2-3 суток.

Активизацию диверсионных действий иррегулярных формирований следует ожидать за один-два дня до начала вторжения. Количество этих формирований в полосе до 150 км по фронту и до 100 км в глубину может составить 8-13 (иногда и более) отрядов сопротивления численностью до 200-250 человек каждый. Для сбора информации об их действиях необходимо организовать тесное взаимодействие с соединениями МВД, Погранслужбы ФСБ, железнодорожными комендатурами, гражданскими администрациями в зоне ответственности объединения.

Анализ состава вероятной группировки диверсионно-террористических формирований в полосе обороны объединения показывает, что с началом боевых действий на глубину до 70 км может быть заброшено около 80 разведывательных (РГ), диверсионно-террористических групп и разведывательно-диверсионных отрядов; в последующем на глубину до 100 км - 30 РГ и ДТГ, а также три-четыре аэромобильных десанта.

Можно ожидать, что основную часть сил ДТФ противник применит при овладении первым рубежом обороны. В этот решающий период операции он, скорее всего, задействует до одной трети ДТГ и высадит два-три аэромобильных десанта. При этом в период подготовки нашими войсками обороны будет высажено 17-18 ДТГ в межпозиционное пространство на первом оборонительном рубеже и один-два аэромобильных десанта в промежуток между первым и вторым оборонительными рубежами. Такое предположение основывается на том, что противник будет стремиться провести разведку боем с целью выявить систему построения обороны. Объектами нападения ДТГ могут стать: опорные пункты подразделений, пункты управления, узлы связи, РЛС, стартовые позиции ракетных войск и зенитных ракетных подразделений. Целью высадки аэромобильного десанта будет нападение на тыловые объекты (захват объектов на коммуникациях), чтобы дезорганизовать систему тылового обеспечения обороняющихся.

В ходе наступления для содействия ударной группировке войск противник дополнительно может высадить 20-22 ДТГ в район расположения второго эшелона (общевойскового резерва) объединения для сковывания его маневра.

В дальнейшем наращивание усилий ДТФ будет, по-видимому, осуществляться следующим образом: при бое за третью позицию первого рубежа обороны может высаживаться 14-16 ДТГ, а при завершении прорыва первого рубежа обороны - 17-18 ДТГ и аэромобильный десант в составе батальонной тактической группы с целью создать условия для расчленения оборонительной группировки и перехода к преследованию.

Таким образом, обороняющиеся войска могут подвергаться непрерывному воздействию ДТФ противника с воздуха, фронта, тыла и флангов во время всего периода подготовки и ведения оборонительной операции. В результате будут атакованы (одновременно или последовательно) около 150-160 объектов (из расчета одна ДТГ на один-два объекта). Диверсии и террористические акты могут совершаться следующими способами: воздушно-штурмовой атакой, воздушно-штурмовым ударом, совершением огневого налета, устройством засады (наземной, воздушной, вертолетной), дистанционным подрывом объектов, снайперским обстрелом, применением мин-сюрпризов и т. п.

При оценке боевых возможностей ДТФ противника необходимо учитывать их высокую техническую оснащенность (вертолеты, робототехника и т. п.), которая дает возможность быстро совершать маневр на обширной территории, вести разведку, выбирать уязвимые объекты для подрывных действий и быстро выходить из-под удара. С помощью спутниковой системы «Навстар» ДТФ в состоянии определять координаты объектов, свое местонахождение с точностью 5-7 м и поддерживать непрерывную связь со своими войсками.

Уязвимыми местами ДТФ являются: наличие ряда демаскирующих признаков, в частности аэродромов, мест их подготовки и высадки; слабая защищенность от воздействия всех огневых средств обороняющегося (наступающего), поскольку преобладающее время они вынуждены находиться вне укрытий; невозможность оказывать длительное сопротивление противнику в случае их обнаружения.

Наиболее сложно будет вести борьбу с мобильными группами ДТФ на закрытой, резкопересеченной местности, в горах, лесу, населенных пунктах, когда им удастся найти укрытия, использовать защитные свойства местности, средства маскировки. Большую опасность для наших войск в этих условиях представляют снайперы, минно-взрывные заграждения.

В результате оценки возможностей своих войск по борьбе с ДТФ противника в первую очередь необходимо определить: как построить систему обороны, чтобы не допустить внезапных огневых налетов, устройства противником засад, минно-взрывных заграждений; с кем и как необходимо взаимодействовать при уничтожении противника. Кроме того, оцениваются возможности воздушной, радиотехнической и войсковой глубинной разведки, а также возможности объединения (соединения) по срыву высадки ДТФ, уничтожению их во время полета и на земле при сосредоточении в базовых районах силами и средствами авиации и РВиА. На этой основе командующий (командир) определяет: как построить систему огня всех видов; какие применить способы нанесения избирательных ударов по ДТФ системами РОК, РУК сразу же по выявлении объектов; на охране каких объектов в зоне ответственности сосредоточить основные усилия; какие силы и средства выделить для борьбы с ДТФ, как их подготовить и оснастить.

При этом учитываются ударные возможности войск по осуществлению блокирования, окружения, рассечения, преследования и разгрома ДТФ; маневренные возможности частей и подразделений по осуществлению рейдовых действий, маневру огнем, заграждениями, созданию подвижных и неподвижных заслонов, засад, огневых мешков.

Чтобы успешно бороться с ДТФ, надо заблаговременно, еще в мирное время, готовить войска, на всех КШУ, тактических занятиях отрабатывать различные варианты отражения нападения диверсантов. В штабах должны быть подготовлены необходимые планирующие документы. При расчете сил и средств для борьбы с ДТФ следует исходить из того, что для поиска и уничтожения одной диверсионно-террористической группы противника требуется ориентировочно одна-две разведывательно-боевые группы в составе 8-10 человек каждая. Если предположить, что противник, как указано выше, забросит в полосу обороны (наступления) объединения до 200 ДТГ, то для их уничтожения потребуется в армии выделить шесть-семь батальонов и дополнительно для борьбы с аэромобильными десантами - не менее восьми-десяти батальонов.

Основная тяжесть борьбы с ДТФ ляжет на общевойсковые резервы и вторые эшелоны объединения (соединения, части). Но этих сил и средств может оказаться недостаточно. Для решения задач противодиверсионной и противотеррористической защиты потребуется создавать в соединениях и частях специальные элементы боевого порядка, в частности войсковые маневренные группы (ВМГ), истребительные противодиверсионные, ударно-штурмовые, ударно-огневые, воздушно-рейдовые отряды (группы) и группы минирования на вертолетах.

Войсковые маневренные группы могут составлять мобильный резерв командира соединения (части). Они предназначаются для выполнения внезапно возникающих задач. При обнаружении высадки ДТФ противника ВМГ немедленно выдвигаются в указанный район и уничтожают противника. В состав ВМГ целесообразно включать мотострелковые подразделения на БМП (роту, батальон). Действия ВМГ должны поддерживаться вертолетами.

Истребительные противодиверсионные отряды необходимы для прочесывания местности и выявления укрывшихся диверсантов, особенно в населенных пунктах, лесу, горах. В состав таких отрядов следует включать наиболее боеспособные, хорошо подготовленные подразделения. Кроме прочесывания местности они могут использоваться для устройства подвижных и неподвижных заслонов и засад.

Ударно-огневые группы предназначены для уничтожения ДТФ и воздушных десантов в случае, если те сумеют закрепиться на местности, занять круговую оборону и создать систему огня. Такие группы могут включаться в состав истребительных, противодиверсионных, блокирующих, рейдовых и обходящих отрядов.

Воздушно-рейдовые отряды (группы) могут использоваться для разведки маршрутов, по которым намечено движение автотранспортных колонн, для выявления на них засад, заслонов, заграждений. Они могут стать действенным средством предотвращения диверсионно-террористических акций.

Таким образом, система борьбы с диверсионно-террористическими формированиями противника в обороне и наступлении должна включать в себя комплекс взаимоувязанных войсковых, специальных, оперативно-тактических, разведывательно-боевых, режимно-ограничительных, ударно-огневых, блокирующих и обеспечивающих их мероприятий, объединенных единым замыслом и планом. В этой связи возникает необходимость разрабатывать в обороне и наступлении специальный планирующий документ (план), в котором должны найти отражение: определение зон ответственности и районов (направлений) сосредоточения основных усилий по борьбе с ДТФ; порядок проведения разведывательно-боевых, ударно-огневых, ударно-штурмовых, блокирующих действий; задачи первого, второго эшелонов, общевойскового резерва объединения (соединения) по борьбе с ДТФ; задачи ракетно-артиллерийских и зенитных ракетных частей по уничтожению ДТФ; организация системы управления; порядок взаимодействия и всестороннего обеспечения.

План разрабатывается на основе решения командующего объединением (командира соединения). В решении на оборону предусматриваются: задачи воздушной, войсковой, радиотехнической разведки по обнаружению высадки ДТГ, аэромобильных десантов; дополнительные меры по усилению охраны пунктов управления, боевых порядков войск, огневых позиций, районов расположения тыловых учреждений, объектов на коммуникациях; границы зоны ответственности объединения (соединения), участков ответственности полков; задачи по блокированию и огневому поражению выявленных ДТФ; порядок совместных действий истребительных отрядов, ВМГ с частями внутренних войск МВД, Пограничной службы ФСБ, территориальной обороны по проведению разведывательно-боевых, рейдово-штурмовых, блокирующих действий, окружению и разгрому ДТФ; порядок боевого сопровождения автотранспортных колонн с боеприпасами и материальными средствами, охраны их от нападения диверсантов; порядок выделения авиационных наводчиков, офицеров-корректировщиков огня артиллерии в боевые порядки ударно-штурмовых групп; порядок управления и взаимодействия в ходе боевых действий по уничтожению ДТФ; порядок проведения режимно-ограничительных и маскировочных мероприятий по скрытию группировки войск; порядок взаимодействия с авиацией и РВиА по поиску и уничтожению ДТФ.

Как и обычно, после принятия решения командующий (командир) ставит задачи подчиненным, в которых должны найти отражение вопросы, касающиеся борьбы с ДТФ противника. При этом в соответствии с его указаниями начальник штаба должен:

при планировании мероприятий по борьбе с ДТФ детально отработать порядок взаимодействия со штабами внутренних войск МВД, Пограничной службы ФСБ, территориальной обороны по осуществлению режимно-ограничительных мероприятий, организации комендантской службы, совместному патрулированию, выставлению блокпостов, сторожевого охранения, заслонов, охраны коммуникаций, тыловых объектов;

при планировании разведывательно-боевых, ударно-штурмовых, рейдовых действий определить их цели, задачи и способы ведения, привлекаемые силы и средства, порядок осуществления поисковых действий силами авиации и наземных разведывательно-боевых групп, сроки проведения, порядок огневого, инженерного и материального обеспечения;

при планировании ударно-огневых, блокирующих действий в целях уничтожения ДТФ определить участие в них частей других силовых структур, порядок создания подвижных и неподвижных заслонов для перекрытия путей противника, сковывания его действий;

при организации взаимодействия с авиацией уточнить способы ведения воздушной разведки, порядок выделения авиационных наводчиков для общевойсковых формирований, порядок авиационного сопровождения автотранспортных колонн;

установить единые сигналы оповещения, опознавания, целеуказания.

В свою очередь, начальнику разведки отдаются указания на организацию круглосуточного наблюдения в зоне ответственности соединения за возможной высадкой ДТФ противника, а также обзорной и детальной разведки; обеспечение согласования усилий войсковой, воздушной, радиотехнической, артиллерийской, инженерной и других видов разведки по обнаружению ДТФ и организации систематического обмена информацией между ними.

Командирам подчиненных соединений (частей) ставятся задачи:

при создании системы огня и заграждений предусмотреть огневое воспрещение высадки ДТФ в межполосном (межпозиционном) пространстве, на стыках, флангах, в тылу и на коммуникациях; согласовать действия общевойскового резерва, истребительного, противодиверсионного отряда с боевыми вертолетами и артиллерией; для блокирования и уничтожения, обнаруженных ДТФ создать инженерно-огневые заградительные рубежи (полосы, зоны);

при построении и инженерном оборудовании позиций создать круговую оборону ротных (взводных) опорных пунктов, ложные позиции и районы; оборудовать огневые рубежи для усиления охраны пунктов управления, узлов связи, РЛС, огневых (стартовых) позиций РВиА, ПВО, тыловых подразделений;

при планировании огневого поражения ДТФ противника назначить зоны ответственности для полков (батальонов) с учетом возможностей их огневых средств; спланировать обеспечение огневой поддержки подразделений при несении ими службы в составе сторожевых застав, на блокпостах, при борьбе с засадами, при отражении огневых налетов ДТФ. Для уничтожения выявленных ДТФ противника применять следующие способы огневого поражения - зонально-объектовый, барьерно-огневой, огневого блокирования, огневого прочесывания, огневого окаймления;

предусмотреть организацию взаимодействия с боевыми вертолетами и самолетами штурмовой и бомбардировочной авиации при огневом прочесывании местности, блокировании и окружении ДТФ;

в целях предотвращения внезапных огневых налетов ДТФ организовать непосредственную охрану пунктов управления, огневых позиций артиллерии, средств ПВО, тыловых объектов; для охраны важных объектов на коммуникациях в межполосном пространстве выделять усиленные караулы в составе отделения (взвода) на бронетранспортерах.

Для согласования усилий общевойсковых частей с частями внутренних войск МВД, Погранслужбы ФСБ, МЧС, территориальной обороны целесообразно разрабатывать план взаимодействия, в котором определяется:

кто, что и каким способом делает для обеспечения скрытности действий, введения ДТФ противника в заблуждение, а также для поддержания режима комендантского часа, обеспечения пропускного режима в зоне боевых действий, контроля за движением транспортных средств, проведения совместного патрулирования, боевого сопровождения автотранспортных колонн;

порядок совместных действий при обнаружении высадки ДТФ, проведении разведывательно-боевых, ударно-огневых, рейдовых, блокирующих действий, действий по окружению и уничтожению ДТФ;

порядок боевого применения ракетных войск и артиллерии, ПВО, боевых действий воздушной армии (авиации Сухопутных войск), задачи по огневому поражению ДТФ в исходных районах, во время их перелета и высадки;

порядок инженерного обеспечения, в частности вопросы радиолокационной, тепловой и светотехнической маскировки объектов объединения (соединения), а также комплекс мероприятий по дезинформации противника;

порядок охраны, обороны и защиты пунктов управления, выделяемые силы и средства;

мероприятия по аэрозольному противодействию оптико-электронным средствам разведки и управления оружием противника, вопросы взаимодействия органов, частей и подразделений РХБЗ при совместной борьбе с ДТФ противника.

Для реализации мероприятий по защите от нападения ДТФ и борьбы с ними представляется необходимым в рамках существующей структуры управления объединения создавать специальный орган - группу планирования и управления противодиверсионной защитой. В эту группу целесообразно включить: начальников родов войск и служб (или по их указанию офицеров от войск связи, РВиА, ПВО, РЭБ, РХБ защиты, инженерных войск), офицеров оперативного отдела, представителей от авиации, внутренних войск МВД, Погранслужбы ФСБ. Объединение в группу указанных лиц для решения задач защиты и борьбы с ДТФ противника целесообразно проводить на информационном уровне, а не на «физическом» (присутствие офицеров из состава групп в каком-либо конкретном месте и в определенное время). Каждый офицер из состава группы, находясь на своем рабочем месте, работая по своему направлению, должен вместе с тем участвовать в разработке предложений по выявлению и уничтожению ДТФ в соответствии со своим профилем и согласовывать эти предложения с группой общего планирования.

На группу планирования и управления противодиверсионной защитой целесообразно возложить следующие обязанности: оценка вероятного характера и масштабов применения противником ДТФ на различных этапах операции; разработка предложений по противодействию разведке противника; определение исходных данных по защите; разработка и уточнение плана по охране объектов; определение задач авиации, РВиА, общевойсковым соединениям (частям), ВДВ по выявлению и уничтожению ДТФ противника; определение порядка взаимодействия, организации управления и всех видов обеспечения в ходе борьбы с ДТФ противника.

Порядок и характер применения сил и средств по выявлению и уничтожению ДТФ в ходе оборонительной операции во многом зависит от способа и последовательности действий противника, применяемых им сил и средств. Мероприятия по защите от диверсий и терроризма будут осуществляться в рамках решения оперативных задач, основными из которых станут: участие в борьбе за завоевание информационного превосходства (предотвращение информационных диверсий противника); проведение специальных противодиверсионных и противотеррористических операций в период отражения воздушного (воздушно-космического) нападения противника, нанесения ответного (ответно-встречного) массированного огневого удара, поражения его группировок при развертывании и переходе их в наступление, при бое за удержание первого и других оборонительных рубежей и воспрещении прорыва противника в глубину; разгром его вклинившихся группировок и проведение армейского контрудара.

В процессе информационного противоборства важнейшей задачей является защита от программно-электронного воздействия. С этой целью в соответствии со складывающейся радиоэлектронной обстановкой будут выполняться запланированные мероприятия по защите радиоэлектронных систем управления; осуществляться контроль за соблюдением установленных режимов работы РЭС системы управления и устанавливаться местоположение, состав и возможный порядок функционирования основных пунктов управления разведывательно-диверсионными силами противника; вскрываться все каналы и линии связи, выделяемые для передачи разведывательной информации в интересах ДТФ.

В целях поражения средств радиоэлектронного противодействия противника в пределах полосы обеспечения следует развертывать на временных стартовых (огневых) позициях дежурные огневые средства. С началом участия объединения в проведении ответного (ответно-встречного) массированного огневого удара ракетные войска и артиллерия, авиация будут поражать наиболее важные объекты системы управления, разведки и РЭБ противника, в том числе центры управления РОК, РУК, РУС, центры и посты управления авиацией, предназначенные для высадки ДТФ противника; части ПВО, общевойсковые части, выделенные в противодесантный резерв, истребительные отряды и войсковые маневренные группы - уничтожать самолеты-разведчики, беспилотные летательные аппараты, аэромобильные десанты, разведывательно-диверсионные группы в воздухе и во время их высадки. Специально подготовленные группы будут осуществлять поиск и уничтожение забрасываемых противником передатчиков помех в районах размещения командных пунктов, позиционных районах РВиА, ПВО, разведки и РЭБ.

Все это должно найти отражение в решении на операцию (бой) при планировании боевых действий, организации огневого поражения противника, системы взаимодействия, управления и всестороннего обеспечения, т. е. в общем комплексе мероприятий по подготовке обороны (наступления).

Для комментирования необходимо зарегистрироваться на сайте

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.